Question 3

Bilan

Nous venons d'établir que, dans un triangle quelconque  \(\text{ABC}\) , \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\text{AB}\times \text{BC} \times \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\) .
Cette expression est une généralisation du théorème de Pythagore.
Le nombre \(-\dfrac{1}{2}d=\text{AB}\times\text{BC}\times \cos(\widehat{ABC})\) est appelé produit scalaire des vecteurs  \(\vec{\text{AB}}\)  et  \(\vec{\text{BC}}\) et se note \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text B\text C}\) . On peut donc réécrire l'égalité précédente comme     \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text B\text C}\) .

Question 3. Des cas particuliers
    a. Que se passe-t-il dans le cas où, dans le triangle, les points  \(\text{A, B}\ \text{et C}\)  sont alignés non confondus (le triangle  \(\text{ABC}\)  est aplati) ? Étudier les différents ordres d'alignement.
    b. Démontrer que, lorsque  \(\text{ABC}\)  est rectangle en  \(\text{B}\) , on retrouve l'égalité du théorème de Pythagore.
    c. Que se passe-t-il dans le cas où les points \(\text{A}\) et \(\text{C}\) sont confondus ?